Ллойд Стауэлл Шепли (1923 - 2016)

Автор: Мелихова Виктория Вадимовна,
Студентка, 2 курс
Липецкий институт кооперации (филиала) БУКЭП

 

Научный руководитель: Сидельников Геннадий Леонидович,

д.ф.-м.н., профессор

г. Липецк, 2020 

Ллойд Стауэлл Шепли – математик – экономист

 

Аннотация: в  статье рассмотрена биография Ллойда Стауэлла Шепли – нобелевского лауреата по экономике, а также исследуется его вклад в теорию коалиционных игр и понимание экономической справедливости

Ключевые слова: Ллойд Стауэлл Шепли, теория коалиционных игр

ЛлойдСтауэлл Шепли родился 2 июня 1923г. в семье известного астронома Харлоу Шепли в штате Массачусетс, США. В 1948г. получил степень бакалавра в Гарварде, в 1953г.– степень доктора философии в Принстоне, в 2012г. в возрасте 89 лет – нобелевскую премию в Стокгольме.

Значительный период своей жизни: 1948–1949 и 1954–1981 гг. Шепли работал в американском центре «Исследования иразработки» (ResearchandDevelopment– RAND англ.), занимающемся проблемами «общественного благополучия инациональной безопасности». По-видимому, здесь сформировались его научные интересы.

Начав в 1949г. учёбу в Принстонском университете, Шепли получает признание самого фон Неймана – создателя теории игр, который называл 26-летнего студента «ярчайшей молодой звездой в исследовании теории игр».Фредерик Боненбласт наставник, возвратившегося в RAND после учёбы в Принстоне Шепли, считал его вторым после создателя теории игр фон Нейманна.

Шепли приступил к самостоятельным исследованиям, когда новая наука «Теория игр» только-только начала делать первые шаги. Среди его коллег по Принстону были Дж. Нэш и М. Шубик,Через 50 лет Шепли будет отрицать факт тесной дружбы в студенческие годы с Нэшем, хотя это и имело место. Нэш и Шепли, пытаясь быть друзьями, в результате стали соперниками. Нужно сказать, что в Принстонском университете в те годы царила обстановка дружбы и соперничества. С Шубиком Шепли продолжит работу и после Принстона. Среди коллег-студентов Л. Шепли выделяли благородная манера поведения, высокая разносторонняя образованность, самоирония, доходящая до самокритики, вспыльчивый нрав. Он прекрасно играл на фортепьяно.

В жизни Шепли снискал репутацию перфекциониста высшей степени, что помешало ему опубликовать немалую часть своих работ.

По сути, в основе исследований, которые в итоге привели автора к нобелевской премии, лежит работа [1], написанная ещё в далёком 1953г., когда автору исполнилось 30 лет. Работа называется«Значения игр с N‑участниками».

Анализируя фундаментальную идею Неймана и Моргенштерна об обусловленности количественной функции коллективной полезности порядковыми предпочтениями агентов – ординалистский подход, – Шепли пишет: «В основании теории игр лежит допущение того, что участники игры могут оценивать, согласно своей шкале полезности, каждую «перспективу», которая может возникнуть в результате игры. В попытке применить данную теорию к любой сфере можно ожидать допущения включения в разряд «перспектив» перспективы необходимости участвовать в игре. Таким образом, возможность оценивания игр критически необходима. Поскольку теория не способна присвоить игре значения, которые обычно используются в системе, только относительно простые ситуации – где игры не зависят от прочих игр – будут подвержены анализу и решению».

Тем самым, Шепли подводит к выводу, что основанная на аксиоматическом подходе к оцениванию игры рационализация количественной полезности, может быть осуществлена в единой объективной шкале только если будет найдена уникальная универсальная функция полезности, для которой отношение предпочтения нейтрально по отношению к определённым видам риска, при том, что ощущение полезности предполагает определённую ценностную ориентацию. Однако экономика исследует сущее, а не должное.

Поскольку, с точки зрения ординалистов измерять полезность в каких-то единицах мы не можем, то единственное, что остаётся, сравнивая две альтернативы и, это показать, что они не будут противоречить друг другу и, следовательно, такое сочетание может быть устойчивым. Если подобное распределение существует в природе, то это как раз то к чему мы стремимся.

Теоретически за игроками и коалициями остаётся возможность и право манипулирования и эта возможность так же должна быть учтена при формировании устойчивого распределения суммарного блага (дележа).

Шепли показал, что полезность, обладающая требуемыми свойствами, существует. Такая полезность – цена игры соответствует значению игры, называемому теперь вектором Шепли (историческое название), значением Шепли или распределением Шепли. Предложенная концепция решения оказалась весьма продуктивной при решении ТП-игр (игр с трансферабельной полезностью). Хотя универсальной единственной концепции согласованной с представлениями о порядке распределении блага каждым участником не появилось, был сделан гигантский шаг в понимание природы категории «экономическая справедливость».

Потребность в нахождении устойчивых паро-сочетаний реально возникла в США в 40-х50-х XX века при решении проблемы распределения интернов по федеральным госпиталям.

Дилемма состояла в том, чтобы найти такое распределение агрегированной полезности, которое удовлетворяло бы принципу справедливости дележа, т.е. соответствовало индивидуальным потребностям игроков, и при этом было бы устойчивым.

Исследования Шепли в значительной мере способствовали бурному развитию в последующие годы того направления прикладной математики, которое сейчас называется теорией коалиционных игр.

В 1962г. Л. Шепли и Д. Гейл [2] рассмотрели принципиально отличную оттематики экономических задач проблему построения обобщённых паро-сочетаний, положив тем самым начало исследованиям социальных процессов математическими методами. Работа называлась «Зачисление в колледжи и устойчивость браков», в русскоязычной литературе она более известна как задача о марьяже. В своей работе Шепли и Гейл ввели понятие устойчивого распределения (паро-сочетания).

Коротко, суть проблемы заключалась в разбиении двух множеств и  на пары. При этом разбиение должно было быть стабильным, т.е. ни у одного субъекта никакой пары не должно было быть мотива изменить свой статус на более предпочтительный. Сразу заметим, что подобное разбиение не гарантирует счастье каждой паре, но гарантирует стабильность. Иногда стабильность выше счастья! Задача состояла в том, чтобы найти такое паро-сочетание, которое бы отвечало требованиям: индивидуальной рациональности, парной устойчивости и эффективности. Анализ модели показывал, что окончательное распределение по парам не зависит от порядка поступления предложений руки и сердца от одной стороны и отказов от – другой, а также от выбывающих участников, желающих остаться одинокими. Таким образом, распределение устойчиво и однозначно. Но что самое важное Шепли и Гейл привели конструктивное доказательство существования устойчивого распределения при выполнении некоторых объективно разумных требований. Описанный ими механизм приведения к равновесию, получил названия: «алгоритма отложенного принятия», «алгоритма отложенного согласия», «алгоритма отложенного платежа». Важно также отметить, что предложенный алгоритм формирования устойчивых пар хорошо программировался, так как имел полиномиальный уровень сложности O (n²) операций, где n – число мужчин и женщин.

Опуская техническое описание процедуры, мы только отметим, что идеология обобщённых паро-сочетаний нашла своё развитие в работах другого нобелевского лауреата – Э. Рота, который с 80-х годов прошлого века с успехом применял процедуру формирования устойчивых пар в весьма разных социальных сообществах.

Развивая представления о справедливом разделении агрегированной полезности, Шепли вводит понятия выпуклой игры и супермодулярной характеристической функции[3].

Остановимся кратко на исходных позициях – двух концепциях распределения суммарного выигрыша. Переходя на язык теории игр, рассмотрим формирование дележа, основанное на понятии ядра и вектора Шепли. Пусть N  – большая коалиция, т.е. множество всех игроков (участников); S ⊂ N – произвольная коалиция, v (S)  – функция характеризующая игру, ставящая в соответствие каждому подмножеству общего множества величину его выигрыша; N, v – цена игры.

C - ядро. Пусть игроки договорились и пришли к соглашению о распределении выигрыша всей коалиции v (N) в соответствии с некоторым дележом x = (x₁, x₂,...., x_n) Первое важное свойство, которому должен удовлетворять делёж – это эффективность: x₁ + x₂ + ... + x_n = v (N) – вся доступная полезность должна распределяться между игроками без остатка. Эффективность, другими словами, – это отсутствие потерь. Второе важное свойство, которым должен обладать делёж это то, что он не должен доминироваться никаким другим дележом (отсутствие сепаратистских тенденций). Такое распределение очевидно будет устойчивым. Условие устойчивости – отсутствие сепаратистских тенденций (включает групповую рациональность)т.е. ∀S ⊂ N∑_i∈Sx_{i ≥ v (S)}. Последнее условие означает, что какой бы ни была коалиция S ⊂ N в общем дележе её участники в сумме получат не меньше, чем тогда когда она захотела бы отделиться. Отсутствие сепаратистских тенденций – очень сильное свойство дележа (более сильное, чем Парето-оптимальность) и выполняется не всегда, что существенно осложняет задачу. Итак, ни одной из коалиций S ⊂ N, S ≠ N не выгодно отделение от остальных игроков в самостоятельную коалицию с целью распределения между собой выигрыша v (S). Множество недоминируемых дележей, которое можно наделить этими двумя свойствами называется C - ядром игры. Ядро сопоставляет каждой игре множество векторов - выигрышей (N,v): C (N,v) = {x∈X(N,ν) : ∀S ⊂ N∑_i∈Sx_i ≥ v (S)} .

Недостатком «ядерной» концепции справедливого дележа в кооперативных играх являлось то, что часто C - ядро оказывалось либо слишком большим, либо пустым – как раз из-за сильных стремлений к сепаратизму[1]. Шепли прекрасно, понимая это, вводит в систему анализа концепцию решения, вошедшего в исследовательский инструментарий под названием «значения или вектор Шепли». Если характеристическая функция игры v (S) обладает свойством супермодулярности (эквивалентно понятию выпуклости игры), то C - ядро непусто, это гарантирует принадлежность вектора Шепли C - ядру. Об этом далее.

Каждая компонента вектора Шепли апеллирует к личному вкладу участника коалиции и априорно представляет собой математическое ожидание выигрыша, который может получить игрок, участвующий в игре при прочих равных условиях.

Значения Шепли. Шепли, будучи математиком - теоретиком, и, исходя из вполне реалистичных предпосылок - аксиом, исключительно строго доказал, что существует единственное распределение j (v) = (j₁ (v), ... , j_n (v)) для всех игр с характеристической функцией v (S) : 2ⁿ → R над N = {1, 2, ...,n}, для каждой коалиции S ⊂ N, которое удовлетворяет свойствам(аксиомам):

• эффективности: сумма выигрышей всех игроков любого носителя большой коалиции равна выигрышу носителя;
• аддитивности: выигрыш любого игрока в игре, являющейся объединением двух коалиционных игр равен сумме выигрышей в каждой из этих двух игр по отдельности. Это свойство реализуется, например, когда мера риска определяется как мера когерентных мер: рыночный риск + кредитный риск. Вектор Шепли вычисляется для каждой из мер;
• симметричности (анонимности): игроки одинаково входящие в коалицию должны «по справедливости» получать одинаковые выигрыши. Делёж не должен зависеть от личностных характеристик каждого игрока. Все игроки – совершенные субституты;
• маргинальности (фиктивности): существует игрок с нулевым вкладом в любую коалицию игроков. Такой игрок является нулевым игроком и называется «болваном».

Сложно доказанное им утверждение носит название теоремы Шепли.

По определению вектор Шепли удовлетворяет всем 4-м требованиям. Предложенная Шепли концепция, в значительной мере реализовывала заветную мечту ещё Неймана и Моргенштерна о существовании и единственности, на основании широко принятых аксиом, распределения индивидуальных полезностей аналогичного функции коллективного выбора.

В частности, распределение Шепли решает задачу стабилизации спроса и предложения на двустороннем рынке с отсутствующей или слабо выраженной трансферабельной полезностью, когда главное условие эффективности классического рынка – оптимизация по Парето за счёт ценового саморегулирования оказывается трудно или даже совсем нереализуемой.

Аксиоматическая система Шепли, дополненная Ротом, показала высокую эффективность формирования устойчивых паро-сочетаний в различных социальных группах, где требовалось установить равновесие статического спроса и нерегулируемого предложения, моделирующих рынок на котором нет цен. Последнее, однако, не означает, что всё всем достаётся даром. Отсутствие цен не тождественно отсутствию рынка в принципе. На таком рынке блага имеют теневые цены (shadowprices). Напомним, что в неоклассических теориях механизм цен является основным инструментом достижения равновесия и считается основным рыночным регулятором.

Принципы – разумные требования к формированию пар, которые в конечном счёте обеспечат устойчивое состояние на нетрансферабельном рынке спроса и предложения,впервые получили математическую формализацию и ту степень абстракции, которая позволила применять найденный подход ко многим задачам, выходящим далеко за пределы чисто экономических.

После достаточно долгого периода с момента публикации в 1962г. работы [2] Э. Рот в 1984г. проанализировал алгоритм Гейла - Шепли.Стало понятно, что ареал использования метода Шепли значительно шире решения конкретной задачи.Он может быть рекомендован в качестве механизма совершенствования социальных институтов в случаях, когда «невидимая рука рынка» концепции А. Смита, где каждый за себя, даёт сбой и классические рыночные механизмы либо отсутствуют, либо неэффективны.В такие или близкие условия мы попадаем даже, если требуется решить задачу нахождения оптимального распределения прибыли в классической коалиционной игре с транс- и нетрансферабельной полезностью. На это мы здесь уже указывали.

Политически значимым источником социальных напряжений, минимизировать которые позволяет метод Шепли, являются, так называемые, двусторонние рынки. На них существуют две категории экономических агентов (хотя нередко таких агентов вряд ли можно назвать экономическими), между которыми крайне трудно бывает осуществить эффективное взаимодействие.

Например, метод может быть применён для формирования устойчивых паро-сочетаний в условиях несовершенной конкуренции на рынке квалифицированного труда, на котором доминируют двусторонние контрактные отношения.

Таким образом, устанавливается связь коалиционных игр с некоалиционными. Эта связь проявляется в использовании общего принципа некоалиционной игры, опирающегося на идею устойчивости по Парето, когда никому из игроков и какой бы то ни было коалиции не выгодно отклоняться от своих стратегий без потери индивидуальной полезности, а также принципа равновесия по Нэшу, который в коалиционной игре мотивирует участников действовать согласованно. Именно эту идеологию впервые критически и исследовал Шепли (1953г.).

Шепли удалось вопросы о порядке дележа агрегированной полезности между участниками коалиции и формирования устойчивых пар формализовать и ввести в чисто математическую плоскость.

В 1954г. Шепли и Шубик опубликовали работу [4] под названием «Метод оценки распределения сил в системе комиссий». В ней рассматривается частный случай вектора Шепли и раскрывается причина неравного влияния участников на исход голосования; вводится понятие ключевого игрока и формулируется индекс его влияния на принятие решений. Индекс Шепли-Шубика позволяет определить потенциал участника способного невыигрывающую коалицию превратить в выигрывающую. Результат крайне важный для политических партий в борьбе за доминирование. Ключевые игроки в первых номерах партийных списков – важный сигнал для неопределившихся.

В 2002г. с помощью индекса Шепли-Шубика в Европейском парламенте моделировалось распределение влияния вновь принимаемых в состав Союза 12-ти государств. Непринятие тогда в Евросоюз Турции – 13-м государством возможно объясняется тем (кто же теперь признается), что её индекс Шепли-Шубика после неизбежного перераспределения полномочий оказывался сопоставимым по силе с таким же как у Германии, Великобритании, Франции, Италии. Математика стала оказывать влияние на политику!?

Дальнейшие лабораторные эксперименты и эмпирические исследования, осуществлённые уже вторым из лауреатов нобелевской премии за 2012г. – Э. Ротом, подтвердили высокую адаптивность и эффективность нерыночной модели формирования устойчивых паро-сочетаний. В академическую науку теоретические построения Шепли и практическая адаптация его идей Ротом вошли как «Теория устойчивого распределения и практика моделирования рынка».

В 1974г. Шепли и Скарф опубликовали [5] алгоритм решения важной социальной проблемы на рынке недвижимости. Решалась задача распределения жилья среди группы людей, имеющих свои предпочтения. Легко понять, что в данном случае одна из сторон – это множество неодушевлённых предметов. В известном смысле такой рынок уже является односторонним. Потенциальные обладатели квартир ранжируют свои предпочтения, которые являются строгими.

Шепли и Скарф показали, что существует единственная процедура распределения квартир, делающая это распределение устойчивым. Стабильность распределения гарантируется отсутствием коалиций, которые могли бы перераспределить квартиры между собой так, что полезность хотя бы одного участника увеличилась, а других при этом не уменьшилась (Парето-оптимальное, эффективное распределение). Решение задачи осуществляется использованием, так называемого, алгоритма главных циклов. Важной предпосылкой достижения равновесия является неманипулируемость своими предпочтениями потенциальных обладателей квартир, т.е. каждый из участников транслирует всей группе ранжирование своих истинных предпочтений. Техническое описание процедуры мы так же опускаем.

В 1974г. Шепли совместно с Ауманом, также нобелевским лауреатом, в работе [6] «Значения для неатомических игр» (русский первод см. [7]) рассмотрели игры с теоретически неограниченно большим числом участников, в которых один игрок не оказывает никакого влияния на исход игры. Очевидным примером такой ситуации являются выборы, когда электоральные предпочтения отдельных избирателей не оказывают никакого влияния на результат голосования.

В 1989г. Шепли и Оуэн опубликовали работу[8] «Оптимальное размещение кандидатов в идеологическом пространстве», в которой метод решения нормативных задач существенно опирался на предпочтения игроков по созданию коалиций, а не только на конституционное правило принятия решений. В систему анализа были включены важные идеологические предпочтения игроков и психологические составляющие, способные повлиять на результат голосования. Практическое следствие переформатирования уже существующих коалиций в новые очевидно – они будут голосовать согласованно и будут стабильными. На этой идеологии авторами был предложен алгоритм расчёта индекса влияния Шепли - Оуэна, так же основанный на модификации цены игры по Шепли. Формально модель Шепли - Оуэна представляет собой «несимметричное» обобщение индекса Шепли - Шубика. В новой модели индекс влияния ключевого игрока определяется не только институциональными правилами принятия решений в голосовании, нои его местом в политическом пространстве. Математическую формализацию процедуры и работу алгоритма можно найти, например, в [9].

В 2009г. Барр и Пасарелли, используя индекс Шепли - Оуэна, рассчитали влияние стран членов на принятие решений в Совете министров ЕС в зависимости от позиции стран по отношению к Евросоюзу. Информация о позициях была взята из опросных данных 2003 года. Полученные расчёты дали представление о количественном составе и географическом положении евроэнтузиастов и евроскептиков и легли в основу стратегических планов развития Евросоюза.

Если в периоды более - менее спокойного развития экономики рыночная среда обеспечивает фундаментальное равновесие спроса и предложения – в широком смысле, то в периоды кризисов социально - экономические проблемы становятся особенно острыми. Разбалансировку испытывают и государственные институты. При этом возрастает роль неинституциональных стратегий оптимального поведения.

В поисках выхода из круга нарастающих противоречий и сужения социально - экономического пространства резко возрастает необходимость элиминирования факторных признаков на величину результативных показателей. В таких обстоятельствах важно действовать не хаотично, а в соответствие с определённой стратегией. Оптимизация по Шепли во многом, благодаря её внедрению Ротом в практику общественной жизни, предоставляет важную альтернативу государственным институтам, являя собой пример регулятора социальных и экономических противоречий свободного от политической и экономической конъюнктуры.

Вполне определённо можно утверждать, что алгоритмы Шепли, стабилизирующие отношения агентов на двусторонних рынках, на которых роль ценового регулирования сводится к минимуму, стали важной альтернативой государственным институтам при решении важных социально-экономических проблем.

Индексы влияния, полученные Шепли с соавторами, стали эффективным новым инструментом, позволяющим получать содержательные результаты о возможностях участников оказывать влияние на принятие решений. Они также стали неотъемлемым инструментом политологов, аналитиков - экономистов и пиар - экспертов в исследовании различных правил голосования, реформ правительства, моделирования распределения мест вовновь избираемых коллективных органах и др.

Сегодня актуальным аспектом, определяющим политическую стабильность общества, является распространение информации и дезинформации в социальных сетях. Эта проблема так же может быть исследована в контексте идеологии парного взаимодействия и устойчивости по Шепли.

Итак, исследования Шепли с соавторами, но всё таки прежде всего его самого, позволили лучше понять как работают институты партнёрства, почему они могут давать сбой, каким образом можно достичь стабилизации состояния и выяснить причину неудач.Теория Шепли и практические результаты Рота привели к рождению нового направления в экономике: рыночного планирования – маркет - дизайну («marketdesign»). На сегодняшний день исследования в этой отрасли составляют теоретическую и практическую основу для модификации методов управления и повышения их эффективности в таких сферах, как образование, медицина и трудоустройство, отражая тем самым практическую значимость экономической науки для жизней конкретных людей.

Труды Шепли как теоретика и конечно их практическая реализация Ротом являют собой поразительную демонстрацию непостижимой эффективности математики в сферах казалось бы так от неё далёких.

Отметим, что до конца своей жизни (2016г.) Шепли провёл ещё ряд исследований, имеющих глубокий междисциплинарный характер и нашедших широкое применение в экономической теории, практике повышения рыночной эффективности, других социальных сферах.

Свои главные работы Шепли написал тогда, когда в экономической науке доминировали неоклассические идеи, поэтому можно сказать, что он работал в мейнстриме или в русле близком к мейнстриму. Однако сам он никогда не признавал своего вклада в решение экономических проблем и тем более в решение проблем мирового кризиса. «Я считаю себя математиком, а награду мне присудили за достижения в экономике, – говорит Шепли. – Я никогда, никогда в своей жизни не посещал ни одного курса по экономике».

Выводы делать только вам.

Литература

1. Shapley L.S., A Value For N‑Person Games // Annals of Math Studies. 1953 Vol. 8 P. 307–317.
2. Gale D., Shapley L.S. College Admissions and the Stability of Marriage // The American Mathematical Monthly. 1962 ? 69 (1). P. 9–15.
3. Shapley L. S. Cores of convex games // Intern. Journal of Game Theory. 1971. Vol. 1. P. 11–26.
4. Shapley L.S., Shubik M. A Method for evaluating the distribution of power in a committee system // American political science review. – N.Y., 1954 – Vol. 48, N 3 – P. 787–792.
5. Shapley L.S., Scarf H. OnCoresandIndivisibility // Journal of Mathematical Economics. 1974. ? 1. P. 23-37.
6. Aumann R.J., Shapley L.S. (1974). Values for Non-Atomic Games. Princeton University Press. (M) 48.
7. АуманР., ШеплиЛ., Значениядлянеатомическихигр, пер. сангл., М., 1977.
8. Owen G., Shapley L. Optimal Location of Candidates in Ideological Space // International Journal of Game Theory. 1989. P. 339–356.
9. Алескеров Ф.Т., Очур О.А. Обобщенныеиндексы Шепли-Оуэна и распределение влияния в Государственной Думе III созыва: Препринт WP7/2007/03. – М.: ГУ ВШЭ, 2007. – 32 с.
10. Shapley L.S.The St. Petersburg Paradox: A Con Game?// Journal of Economic Theory.– 1977. Vol. 14. P. 439–442.